狂賭之淵中的吉爾布雷斯洗牌法 (Gilbreath's Shuffle)
前言
最近在看狂賭之淵，其中第二季第四集中提到「吉爾布雷斯洗牌法」，因為覺得蠻有趣的因此特別寫這篇文章紀錄。
吉爾布雷斯洗牌法
以下我們用動漫中的例子。
這副牌由 $0 \sim 3$ 組成，一共 $40$ 張，牌的初始順序為 $0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, \dots, 0, 1, 2, 3$。洗牌的過程一共有三個步驟：
- 進行切牌，切牌的位置與次數並不重要。
- 隨機取 $X = 1 \sim 40$，並將前 $X$ 張牌的順序反過來分成一堆，剩下的 $40 - X$ 分成另外一堆。
- 將這兩堆牌進行交疊洗牌 (不是完美的交疊洗牌也沒關係)。
這樣洗牌的結果會是每 $4$ 張牌都會包含 $0 \sim 3$ 各一張。
原理
聽起來非常的神奇，為什麼會有這個現象呢？我們對洗牌的過程進行分析。
首先，切牌後牌的順序會變成以下四種情況之一：
a. $0, 1, 2, 3, \dots, 0, 1, 2, 3$
b. $3, 0, 1, 2, \dots, 3, 0, 1, 2$
c. $2, 3, 0, 1, \dots, 2, 3, 0, 1$
d. $1, 2, 3, 0, \dots, 1, 2, 3, 0$
這四種情況都維持「每 $4$ 張牌都會包含 $0 \sim 3$ 各一張」的這個性質。因此不失一般性我們可以假設切牌次數為 $0$。
步驟 $2$ 和 $3$ 我們一起看。將 $X$ 張牌順序反過來放一堆，因此這 $X$ 張牌的頭是原本的尾，並與另外一堆進行交疊洗牌。因為交疊洗牌每次都是取兩堆的頭，而其中一堆的頭是原牌序的尾，因此等價於「在初始排序中，每次從牌頭或牌尾取一張牌並按照取走的順序排好，直到取完」。又因為初始的排序其實可以看成是一個循環 (以 a. 來說最後面的 $3$ 接到最前面的 $0$)，因此在原牌序中不論是取頭或取尾，取走的牌都會對應到循環中一段連續的區間。因此不管怎麼取，連續的 $4$ 張牌都一定會包含 $0 \sim 3$ 各一張。
綜上所述，吉爾布雷斯洗牌法能夠成立的先決條件是牌的初始順序。在動漫中，每次發牌都是使用新的一副牌，因此初始順序是固定的。
應用
有兩間工廠 A 和 B 生產同一件產品，而生產又分為四個步驟。某天兩間工廠打算合作，A 工廠按照 $1, 2, 3, 4$ 的順序進行，B 工廠反過來按照 $4, 3, 2, 1$ 的順序進行。按照上述的原理每四個步驟必定包含 $1 \sim 4$ 各一個，符合經濟效益。